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混沌理论的特性

混沌理论(Chaos)是一种兼具质性思考与量化分析的方法,用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系,而必须用整体,连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。该理论是1963年美国气象学家爱德华·诺顿·洛伦茨提出,该理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。混沌理论的主要特征有以下几点:

1、随机性:体系处于混沌状态是由体系内部动力学随机性产生的不规则性行为,常称之为内随机性。例如,在一维非线性映射中,即使描述系统演化行为的数学模型中不包含任何外加的随机项,即使控制参数、韧始值都是确定的,而系统在混吨区的行为仍表现为随机性。这种随机性自发地产生于系统内部,与外随机性有完全不同的来源与机制,显然是确定性系统内部一种内在随机性和机制作用。体系内的局部不稳定是内随机性的特点,也是对初值敏感性的原因所在。

2、敏感性:系统的混沌运动,无论是离散的或连续的,低维的或高维的,保守的或耗散的。时间演化的还是空间分布的,均具有一个基本特征,即系统的运动轨道对初值的极度敏感性。这种敏感性,一方面反映出在非线性动力学系统内,随机性系统运动趋势的强烈影响;另一方面也将导致系统长期时间行为的不可预测性。气象学家洛仑兹提出的所谓“蝴蝶效应”就是对这种敏感性的突出而形象的说明。

3、分维性:混沌具有分维性质,是指系统运动轨道在相空间的几何形态可以用分维来描述。例如Koch雪花曲线的分维数是1.26;描述大气混沌的洛伦兹模型的分维数是2.06体系的混沌运动在相空间无穷缠绕、折叠和扭结,构成具有无穷层次的自相似结构。

4、普适性:当系统趋于混沌时,所表现出来的特征具有普适意义。其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。这类系统都与费根鲍姆常数相联系。这是一个重要的普适常数δ=4.669201609l0299097…

5、标度律:混沌现象是一种无周期性的有序态,具有无穷层次的自相似结构,存在无标度区域。只要数值计算的精度或实验的分辨率足够高,则可以从中发现小尺寸混沌的有序运动花样,所以具有标度律性质。例如,在倍周期分叉过程中,混沌吸引子的无穷嵌套自相似结构,从层次关系上看,具有结构的自相似,具备标度变换下的结构不变性,从而表现出有序性。

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